お勉強の部屋(不定期で学校の勉強に関することを書いていきます。)

花丸 かけ算の順序について

投稿日時 : 2014/10/13  学校サイト運用者 
　時々、保護者の方から『「2×3」と「3×2」は答えが同じなのだから、テストではどちらを書いていても〇ではないのですか？』という質問を受けます。
　実は、これはとても難しい問題です。確かに数や量の大きさだけを計算するのであれば、計算式として「2×3」と「3×2」は同じ意味を持ちます。
　文部科学省が著作権を持つ「学習指導要領　算数編」においても「かけ算の意味」を理解させることは書いてあっても順序についての記述はありません。
　しかし、私たちのような子どもたちに直接授業をする教師は、「文章題においてかけ算の立式をさせる時には順序を守らせる」ことがほとんどです。
　それには、以下のような理由があります。
【以下、図は新興出版社啓林館ホームページ　算数用語集より転用】

　☆算数の教科書に書かれているかけ算の内容
　①同数累加の考え方
　２年生でかけ算の意味を以下のように学習します。
　4+4+4を４×３と表すことができる・・・(これを同数累加といいます)・・・という考え方です。
　ここで、「４の３つ分」を４×３と表すと表現してあります。


　➁乗法の交換法則
　よく知られている交換法則「かけ算では、かけられる数とかける数をいれかえても答えは同じ」というものも２年生で出てきます。
　よく質問があるのは、これを根拠にしたものです。


　➂「〇倍」の考え方
　ところで、①の同数累加に続き、今度は「〇倍」という考え方が出てきます。これは、同数をたしていくのではなく、「もとになる量」の何倍になるのかという考え方です。
　「割合」の考えになります。
　ここでも、「６ｃｍの２倍」という表現で、以下に記述がありませんが、「６×２」の指導を行います。


　④二つの量の比較の指導
　基準量と比較量を示しておいて、比較量が基準量の何倍になるのかを調べさせるときにかけ算の式が出てきます。
　下にあるのも「何倍」の表現は「×いくつ」となっています。


　⑤「計算の手順」の問題
　以下の問題は、『ノート一冊の値段を「もとにする量」とし、それを６倍した上で、さらに１００円をたすと９４０円になった。では、元々のノート一冊の値段はいくらだったか。』という問題です。
　これを教科書の指導書(学習指導要領のことではありません。)では「順に戻す思考法」という位置づけで、１００を引き、６で割るという逆順の考え方で問題を解く設定になっています。
　この時も、操作される量(値段)を前に、操作する量(かける数、わる数)を後ろにおいて式を立て、計算します。
　わり算では、逆順では立式できません。




　⑦結論・・・なぜ、かけ算の順序を決めて指導しているのか。(私見です。)

　・かけ算には交換法則があり、計算するだけであれば、前後の数をいれかえても問題ありません。

　・しかし、文章題の立式は、計算のためであるのはもちろんのこと、子どもたちが題意を理解し、式としてあらわすことができているかを確認するためのものでもあります。

　・そして、教科書は一貫して「操作する対象となる量」を式のはじめに位置付け、かけ算やわり算の立式をするように構成してあります。

　・これは、（かけ算以外の計算式である）わり算に交換法則が成り立たないことと、かけ算が累加だけでなく、量の倍の考えや、割合の考えでも使われるからなのです。

　・どういうことかというと、わり算ではわられる数、わる数が決まっており、逆順にはできません。つまり、操作する対象となる量(リンゴ何個、リボン何ｍなど)がいつもわられる数です。÷記号の後に操作する量が置かれます。

　・この流れから行くと、かけ算も操作する対象となる量(リンゴ何個、リボン何ｍなど)をはじめに置き、×記号の後に操作する量を置いた方が子どもたちが理解しやすいと教科書編集者が考えているからではないでしょうか。(と私は思っています。※私見です。でも、私もそこは統一した方が、子どもたちの混乱が少なくなると思います。)

　・さらに、高学年になると「割合」の考え方が出てきます。この時も、もとにする量×割合＝比べる量という順で考えさせます。１００円の７割は１００×０．７で計算します。0.7×100という立式は指導しません。１００円の０．７倍という考え方です。

　・結局、子どもたちにとってどのような決め事をして学習をさせていった方が理解しやすいかを考え、教科書は工夫してありますし、私たち教師も算数に対して苦手意識のある子どもたちにもなるべく取り組みやすくするにはどうしたらいいかを考えた上で指導しています。

　・私たちがテストの採点をするときに、教科書とは逆順に書いた子どもたちについて、「なぜ、授業の時に教科書に示してある順で書くように指示し、練習していたのに、あえて教科書の逆順に書いたのか」を詳しく検証することがテストの採点の段階では不可能です。ですから、「題意を理解していない」ことを推定し×(バツ)をつけることはあります。

　・それは以下のような推定です。
　テストを書いた子どもが、「今回はかけ算の勉強だから、式もかけ算を書けばいいだろう。そして、文章題に3と5の数字が出てきているから３×５だろう」などという考えで立式していれば、題意を理解していることにはならない。

　・×をつけるのはほとんどこういう推定の下で行われます。

　・すべての子どもたちに、テストの答えの間違い直しをさせる時に子どもたちに教科書を見直しさせたり、テストの標準解答やヒントなどを見せて認識の整理をさせています。

　・そして、×であった解答に対して、その子が数学的に正しい認識を示したうえでかけ算の順序を逆に書いたことを説明できる時には〇をつけます。しかし、内容を理解しているのであれば、なぜ、あえて教科書と違う書き方をしたのかを子どもたちが説明する必要はあります。(逆にしても答えは同じだから、とか、塾ではそれでいいといわれたから、などという理由は、あえて教科書の記述と逆順にしたことの説明にはなりませんが・・・。)　

　・しかし、〇をもらうことにこだわるのではなく、「なぜ、そうなったかを説明したい。」ということにこだわることは素晴らしいことです。

　・また、そうすることのできる子どもは、数学に対してこだわりと興味、深く考えることのできる子どもであろうとは考えられます。そのような子どもたちがたくさん出てくれることを私たちも願って指導していきます。

　これからも、疑問がありましたら担任や少人数担当へもお問い合わせください。
※このかけ算順序問題は、大学の先生たちなどの間でもいまだ論争があるそうです。

※ちなみに、陸上競技種目で４×１００ｍリレーという表現が見られます。あれは、４×１００ｍ＝４００ｍ走るという意味ではなく、「４人それぞれが１００ずつ走り、リレーをする」(４継ともいうそうです。)という種目を表しています。かけ算のことではないわけです。